문제

N개의 숫자로 구분된 각각의 마을에 한 명의 학생이 살고 있다.

어느 날 이 N명의 학생이 X (1 ≤ X ≤ N)번 마을에 모여서 파티를 벌이기로 했다. 이 마을 사이에는 총 M개의 단방향 도로들이 있고 i번째 길을 지나는데 \(T_{i}\)(1 ≤ \(T_{i}\) ≤ 100)의 시간을 소비한다.

각각의 학생들은 파티에 참석하기 위해 걸어가서 다시 그들의 마을로 돌아와야 한다. 하지만 이 학생들은 워낙 게을러서 최단 시간에 오고 가기를 원한다.

이 도로들은 단방향이기 때문에 아마 그들이 오고 가는 길이 다를지도 모른다. N명의 학생들 중 오고 가는데 가장 많은 시간을 소비하는 학생은 누구일지 구하여라.

입력

첫째 줄에 N(1 ≤ N ≤ 1,000), M(1 ≤ M ≤ 10,000), X가 공백으로 구분되어 입력된다. 두 번째 줄부터 M+1번째 줄까지 i번째 도로의 시작점, 끝점, 그리고 이 도로를 지나는데 필요한 소요시간 \(T_{i}\)가 들어온다. 시작점과 끝점이 같은 도로는 없으며, 시작점과 한 도시 A에서 다른 도시 B로 가는 도로의 개수는 최대 1개이다.

모든 학생들은 집에서 X에 갈수 있고, X에서 집으로 돌아올 수 있는 데이터만 입력으로 주어진다.

출력

첫 번째 줄에 N명의 학생들 중 오고 가는데 가장 오래 걸리는 학생의 소요시간을 출력한다.

접근 과정

각 마을로부터 X번 마을까지의 최단 거리를 구하고 그 반대인 X로부터 다른 마을들까지의 최단 거리를 구한 뒤 각 합의 최댓값을 계산하는 문제이다. 문제를 해결하기 위해선 주어진 그래프에서 노드 간의 최단 거리를 구할 수 있어야 하는데 이 문제를 처음 접했을 때는 다익스트라 알고리즘을 직접 구현해본적이 없던 때였다. 그래서 시간초과가 날 것이라 예상하면서도 직접 구현해본 플로이드 와샬 알고리즘을 구현해보았으나 \(O(N^{3})\)의 알고리즘이라 그런지 역시나 시간초과로 팽당하였다.
2주간 다익스트라 알고리즘을 여러번 공부한뒤 다시 이 문제를 접했고 다익스트라 알고리즘으로 해결할 수 있겠다는 생각이 들었다. 다익스트라 알고리즘은 임의의 시작 노드로 부터 다른 노드 까지의 최단 거리를 계산하는 알고리즘이다. 방문한 노드와 연결된 간선 중 시작 노드로 부터의 거리가 최소가 되는 간선만을 선택한다. 이를 우선순위 큐(std::priority_queue)를 사용해 구현할 경우 그 시간복잡도는 \(O(E + V\log V)\) (E는 간선의 수이며 V는 노드의 수이다.)로 나타난다.
노드와 간선의 수가 최대일 때 연산 횟수가 대략 2만 회 정도이므로 모든 노드를 시작점으로 다익스트라 알고리즘을 적용하여도 연산 수는 약 2천만 회이다. 추가적인 연산이 있더라도 1초의 시간에 실행되기에 충분한 여유가 있다. 실제로 다익스트라 알고리즘을 구현하기 위해 V개 노드의 최단 거리 초기값을 큰 수치로 초기화해주어야 하는데 이 과정에서 \(O(V^{2})\)의 시간복잡도가 발생하지만 노드의 수가 1000개 이하 이므로 큰 영향을 주진 않는다. 결과적으로 구현 성공!

소스 코드

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int inf = 1e7;

struct edge_t {
    int dest;
    int distance;
};

// 우선순위 큐에 distance가 작은 순으로 정렬되도록 하기 위한 연산자 오버로딩
bool operator<(edge_t l, edge_t r) {
    return l.distance > r.distance;
}

vector<edge_t> graph[1001];

// 우선순위 큐를 사용한 다익스트라 알고리즘
void dijkstra(int start, vector<int>& outDistance) {
    priority_queue<edge_t> q;
    q.push({start, 0});
    outDistance[start] = 0;

    while (!q.empty()) {
        // 우선순위 큐에 의해 이동거리가 가장 짧은 간선이 선택된다.
        int vertex = q.top().dest;
        int totalDistance = q.top().distance;
        q.pop();

        if (totalDistance > outDistance[vertex]) { continue; }

        for (unsigned int i = 0; i < graph[vertex].size(); ++i) {
            int next = graph[vertex][i].dest;
            int nextDistance = totalDistance + graph[vertex][i].distance;

            // 기존 이동 거리보다 짧게 이동할 수 있는 간선을 우선순위 큐에 넣는다.
            if (nextDistance < outDistance[next]) {
                q.push({next, nextDistance});
                outDistance[next] = nextDistance;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int N, M, X;
    cin >> N >> M >> X;

    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int from, dest, distance;
        cin >> from >> dest >> distance;
        graph[from].push_back({dest, distance});
    }

    int maxDistance = 0;
    vector<int> fromXDistance(N + 1, inf);
    dijkstra(X, fromXDistance);

    vector<int> toXDistance(N + 1);
    for (int from = 1; from <= N; ++from) {
        if (from == X) { continue; }
        
        fill(toXDistance.begin() + 1, toXDistance.end(), inf);    // O(V)
        dijkstra(from, toXDistance);    // O(E + VlogV)

        // 모든 학생들은 집에서 X에 갈수 있고, X에서 집으로 돌아올 수 있는 데이터만 입력으로 주어진다.
        // 라고 문제에서 주어졌으므로 얻어진 최단 거리가 inf인 경우는 없다.
        int roundTripDistance = toXDistance[X] + fromXDistance[from];
        if (roundTripDistance > maxDistance) {
            maxDistance = roundTripDistance;
        }
    }
    cout << maxDistance;
    return 0;
}

References

위키피디아 데이크스트라 알고리즘